【試験概要】
・制限時間は150分です。
・200点満点のテストです。
・数学ⅠAⅡBⅢC から出題します。
(ただし、数学Ⅰの「データの分析」、数学Bの「確率分布と統計的な推測」からは出題しません。
また、旧課程に含まれている「行列」からの出題もありません。)
・京大理系数学を意識して作問しています。
初回ということもあり、難易度は比較的控えめにしております。
・文系用は気が向いたら載せます（ ｉ _ ｉ ）
(一応作問済みなのですが、難易度も問題の質も中途半端すぎて、正直載せる気力があんまり湧かない…)
【大門1】30点
以下の問いに答えよ。
(1) a^1000−a^100−a^10−a−1 をa^2＋a＋1 で割った余りを求めよ。(15点)
(2) 曲線 y＝cos^3x (0≦x≦π) と x軸で囲まれる図形を y軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ。(15点)
【大門2】35点
p , q をそれぞれ素数とする。p^q C q^p の値が素数となるようなp , q の値は存在しないことを示せ。
ただし、C は二項係数である。
例: 5 C 2＝10
【大門3】35点
ある二等辺三角形の辺の長さをそれぞれ a , b , c とする。
ただし、a , b , c はそれぞれ自然数であり、a＜b＝c とする。
このとき、log[2]a＋log[4]b＋log[8]c の値は常にその二等辺三角形の面積の値より小さくなるか否かを、理由とともに示せ。
ただし、対数の底は[]で囲まれた数字とする。
例: log[5]25＝2
【大門4】35点
1から5までの数字が書かれた計5枚のカードをそれぞれ1枚ずつ用意し、無作為に1枚のカードを選び、数字を確認したら、選んだカードを元に戻すものとする。
このとき、初めに選んだカードに書かれた数字を初項(a1)とし、n回目に選んだカードに書かれた数字に、前の項(第n−1項)の数字を足した数を第n項とする。
ただし、n≧2とする。
例えば、1回目に3が書かれたカードを選び、2回目は2、3回目は6を選んだとすると、
a1=3、a2=5、a3=11 となる。
以下の問いに答えよ。
(1) カードをn回選ぶとき、各項の偶奇が交互となる確率を求めよ。(25点)
例:a1が奇数のとき、a2は偶数、a3は奇数…となるような場合。
(2) (1)で求めた確率をpnとする。
lim pn を求めよ。(10点)
n→∞
【大門5】30点
3^πe , π^3e , e^3π の大小を比較せよ。
ただし、π≒3.14 , e≒2.7 などといった、近似値を用いた論証をしてはいけない。
【大門6】35点
sinθ , cosθ , tanθ が全て無理数となるような θ の値は存在するか否かを、理由とともに示せ。
ただし、θ の値が存在する場合であっても、それを満たす θ の値を全て示す必要はない。
問題は以上である。
解けた方はぜひ、本記事のコメント欄、もしくは僕のコミュニティ垢(ID:62437)にて。
カンニングなどを考慮し、講評、解答、解説などは後日載せます。
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